Θέματα Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ
(ΟΜΑΔΑ Β΄)
ΔΕΥΤΕΡΑ 16 ΜΑΪΟΥ 2011
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f′(x0) = 0
Μονάδες 10
. Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞;RA2. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο
Μονάδες 5
A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ≠ 0 ορίζουμε z0=1
λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x1,x2∈A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1≠x2, τότε f(x1) ≠ f(x2)Rβ) Μια συνάρτηση f:A→
–{x|συνx=0} ισχύει: x(x)1συν2εφ′= −R1=Rγ) Για κάθε x∈
δ) Ισχύει ότι: 1x lim xx =ημ→+∞
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f–1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z≠3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z−3i+z−+3i=2 και z3iwz3i1−=−+
B1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z
Μονάδες 7
B2. Να αποδείξετε ότι z3iz3i1−−+=
Μονάδες 4
B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι −2≤w≤2
Μονάδες 8
B4. Να αποδείξετε ότι: z−w=z
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
, με f′(0)=f(0)=0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R→RΔίνεται η συνάρτηση f :
ex(f′(x)+f′′(x)−1)=f′(x)+xf′′(x)
.Rγια κάθε x∈
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
RΓ1. Να αποδείξετε ότι: f x∈
Μονάδες 8
Γ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 3
Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.
Μονάδες 7
Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = συνx έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα ln(ex−x)⎟⎠⎞⎜⎝⎛π20,
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ
ικανοποιούν τις σχέσεις:R, οι οποίες για κάθε x∈R→RΔίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g :
i) f(x)>0 και g(x)>0
ii) ∫−+=−x02t2xdtg(xt)ee1f(x)
iii) ∫−+=−xtxdtf(xt)eeg(x)0221
.R και ότι f(x) = g(x) για κάθε x∈RΔ1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο
Μονάδες 9
Δ2. Να αποδείξετε ότι:
Rf(x) = ex, x∈
Μονάδες 4
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:
Μονάδες 5
Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
=∫xF(x)f(t)dt12
τους άξονες x΄x και y΄y και την ευθεία με εξίσωση x=1.
Μονάδες 7
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες.
5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ.
6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ